Wszystkie połowiące pole trójkąta

Środkowa trójkąta - odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku - dzieli pole tego trójkąta na połowy (bo powstałe dwa trójkąty mają wspólną wysokość i równe podstawy).

Są też inne odcinki dzielące trójkąt na dwie figury o równych polach.
Jak dla punktu Q leżącego na brzegu trójkąta, wyznaczyć taki odcinek QQ'?

Odkryj schowane obiekty (ikoną ) i prześledź kroki konstrukcji (ikoną ).
 

---

 

Dlaczego to jest poprawna konstrukcja? Dlaczego odcinek QQ' połowi pole trójkąta ABC ?
 
Dorysuj odcinek Q_BQ' (ikona ). Widać wtedy, że:

2 ^. P_AQQ'   =   P_AQBQ'   =   P_ABQ'  +  P_BQ'QB   =   P_ABQ'  +  P_BQ'C   =   P_ABC .
(Dlaczego poprawne są poszczególne równości?)

Dla punktów leżących w innych częściach brzegu trójkąta, konstrukcję należy nieco zmodyfikować. Na poniższym rysunku widać wiele takich połowiących.

Można zobaczyć ich więcej/mniej przesuwając brązową kropkę (ikoną ).
 

---

 

Co widać?

Widać, że wszystkie połowiące trójkąta tworzą 'niby pęk odcinków', 'niby' - bo nie przechodzą przez jeden punkt. Wyznaczają pewien 'niby trójkąt'. Co to za 'niby trójkąt'?

Nim go opiszemy, to go nazwijmy: n-trójkątem A_oB_oC_o.

Przesuwając punkty A, B, C (ikoną ), można zaobserwować, że zawsze:
 -  n-wierzchołki A_o, B_o, C_o leżą na odpowiednich środkowych trójkąta A, B, C,
 -  n-trójkąt jest 'wklęsły',
 -  w n-trójkącie leży środek ciężkości trójkąta ABC (= punkt przecięcia środkowych).

To wszystko są 'empiryczne' obserwacje. Żadnej z nich nie umiemy uzasadnić, bo... nie podaliśmy precyzyjnego określenia n-trójkąta. Czym jest n-trójkąt?
 
Można powiedzieć tak:

n-trójkąt trójkąta ABC tworzą wszystkie punkty przecięć
odcinków połowiących pole trójkąta ABC.

Można powiedzieć trochę inaczej:

n-trójkątem trójkąta ABC nazywamy zbiór wszystkich punktów przecięć
prostych połowiących pole trójkąta ABC.

Albo jeszcze inaczej:

Punkty, przez które można poprowadzić co najmniej dwie proste połowiące pole trójkąta ABC tworzą n-trójkąt trójkąta ABC.

Wszystkie te próby określenia mają (drobną?) wadę - n-wierzchołki nie spełniają opisanych warunków! Porzućmy więc próby definiowania. Zajmijmy się opisaniem własności.

Szczegółowo zajmiemy się n-bokami.

Czy n-boki n-trójkąta są łukami pewnych okręgów?
Może nie zawsze, ale dla trójkąta równobocznego wydaje się to słuszne (jakie są ich promienie?).
Ponadto widać, że wtedy środki środkowych są n-wierzhołkami.
Czy tak jest faktycznie?
 

---

 

Nim odpowiemy na te pytania wyznaczymy równanie linii, na której leży n-bok B_oC_o dla trójkąta prostokątnego ABC, o polu 8, zadanego w układzie współrzędnych: A(0,0), B(4,0) i C(0,4).

Ten n-bok B_oC_o jest wyznaczony przez odcinki PP' połowiące pole, gdzie

P (p, 0),   P' (0, 8/p)   i   2 < p < 4 . (Wyznacz pole trójkąta APP'.)

Proste  PP'  tworzą pewną kolekcję (nazwijmy ją K ). Mają one równania:

y   =   8/p  -  8/p^{2 .} x . (Sprawdź!)

Zaznaczając odcinek PP' ikoną i przesuwając P, zobaczysz wyrażniej n-boki.
 

---

 

Teraz najważniejsze:
wszystkie te proste z kolekcji K wyznaczają pewną linię, na której leży n-bok B_oC_o.
W jakim sensie 'wyznaczają'? Ano w takim:
dla ustalonej liczby x, dla pionowej prostej przechodzącej przez punkt (x, 0) szukamy na tej prostej najwyżej położony punkt (x, y) należący do którejś z prostych z K.

Wyznaczymy y w zależności od x. Myślmy dalej, że x jest ustalone.
 
Sprawdź (przekształcając prawą stronę), że

8/p  -  8/p^{2 .} x    =    2/x   -   2x (2/p - 1/x) ². Zatem y    =    8/p  -  8/p^{2 .} x    =    2/x   -   2x (2/p - 1/x) ²       2/x i równość zachodzi dla p = 2x .

Stąd równanie szukanej linii:

y    =    2/x . Jest to hiperbola. Na tej hiperboli leży bok B_oC_o.

Ta linia jest nazywana obwiednią kolekcji K.
Proste z tej kolekcji toczą się (albo ślizgają) po tej hiperboli.

Można sprawdzić (nieco bardziej zaawansowanym rachunkiem), że boki każdego n-trójkąta leżą na hiperbolach.
(Zatem również w trójkącie równobocznym nie leżą na okręgach, to co widzieliśmy, to było tylko złudzenie (przybliżenie).

Można sprawdzić też rachunkowo (lub empirycznie), że zawsze:
 -  n-wierzchołki A_o, B_o, C_o są środkami środkowych trójkąta ABC,
 -  n-boki są styczne do środkowych trójkąta ABC,
 -  suma n-kątów n-trójkąta jest równa 0,
 -  środki odcinków połowiących ABC leżą na n-bokach n-trójkąta (wyznaczają je).
 

---