MAT-ŚWIAT › Fascynujące funkcje

Odcinek z funkcji

Data ostatniej modyfikacji:
2008-12-27
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Dział matematyki: 
funkcje
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą

O odcinku AB można myśleć (od czasów Kartezjusza), że leży w układzie współrzędnych. Jego środek można określić wzorem

C = 1/2 A + 1/2 B ,
gdzie działania te należy rozumieć, że są wykonywane po współrzędnych, czyli
C = ( 1/2 a1 + 1/2 b1 , 1/2 a2 + 1/2 b2 )
dla  A = ( a1 , a2 ) ,  B = ( b1 , b2 ) .


t = 0.500

Ogólnie, punkt C jest punktem odcinka AB, gdy

C = (1 - t) A + t B , dla pewnego t z przedziału <0,1> .
Mianowicie, gdy stosunek odcinków AC / AB oznaczymy przez t,
to w takim samym stosunku są długości rzutów tych odcinków na osie układu współrzędnych, czyli
t = (c1 - a1) / (b1 - a1) ,
t = (c2 - a2) / (b2 - a2) .
Z równań tych wyznaczamy c1, c2 (sprawdź!):
c1 = (1 - t) a1 + t b1 ,
c2 = (1 - t) a2 + t b2 .
Są to współrzędne punktu C co skrótowo notujemy C = (1 - t) A + t B.


t = 0.500

Dla funkcji f, g (o wartościach liczbowych) i dowolnej ustalonej liczby t napis (1 - t) f + t g interpretujemy jako taką funkcję h, że

h(x) = (1 - t) f(x) + t g(x) .
Np. dla f(x) = x2 , g(x) = x2 - 2x oraz t = 0.500 mamy (sprawdź):
    h(x) = (1 - 0.500) ( x2 ) + 0.500 ( x2 - 2x ) = x2 - 1.000x.

Mamy nie jedną funkcją h, lecz wiele - zależą one od wartości t. Taką kolekcję funkcji, gdy t przebiega cały przedział <0,1> można uważać za odcinek fg , odcinek złożony z funkcji.



Uwaga 0. 
Takie samo narzędzie do rysowania wykresów funkcji jest dostępne w dowolnym miejscu naszego portalu. Wystarczy kilknąć w menu poziomym (na górze strony) przycisk 'WYKRESOWNIK'.

Inne odcinki fg złożone z funkcji można oglądać na wykresie obok. Warto je zobaczyć dla:
-    f(x) = |x|,   g(x) = |x| - 1 ;
-    f(x) = |x|,   g(x) = |x - 1| ;
-    f(x) = sin(x),   g(x) = cos(x) ;
-    f(x) = sin(x),   g(x) = sin(x) + 2 ;
-    f(x) = x,   g(x) = cos(x) ;
-    f(x) = x^2,   g(x) = cos(x) ;
-    f(x) = x^2,   g(x) = x^3 ;
-    f(x) = x^2,   g(x) = x^2 - 5x + 6  ;
-    f(x) = x + 1,   g(x) = 2x ;
-    f(x) = x^2 - |x| ,   g(x) =  x^2 - x ;
-    f(x) = cos(2x),   g(x) = cos(x) ;
-    f(x) = cos(2x),   g(x) = cos(3x) ;
-    f(x) = x^2,   g(x) = [x] ;
-    f(x) = x^2 ,   g(x) = x - [x] ;
-    f(x) = [x] ,   g(x) = x - [x] .

Uwaga 1. 
Może się wydawać, że jeśli będziemy przesuwać wykres pewnej funkcji f wzdłuż jakiegoś (zwykłego) odcinka, to w ten sposób wyznaczymy kolekcję funkcji będącą odcinkiem złożonym z funkcji. To nie jest prawda! Niektóre z powyższych przykładów ilustrują, że tak być nie może. Które?

Uwaga 2. 
Przesuwając wykres pewnej funkcji f wzdłuż jakiegoś pionowego odcinka, równolegle do osi OY, dostajemy kolekcję funkcji będącą odcinkiem złożonym z funkcji. To prawda. Niektóre z powyższych przykładów ilustrują, że tak jest. Które?

Uwaga 3. 
Jak nazwać kolekcję funkcji postaci (1 - t) f + t g gdy t przebiega nie przedział <0,1> lecz wszystkie liczby rzeczywiste?

Uwaga 4. 
Gdy mowa o kolekcji funkcji będącej odcinkiem fg złożonym z funkcji, to zapewne jego długość jest odległością funkcji f i g. Tak, ale jak mierzyć długości takich odcinków? To już trochę trudniejsze pytanie. Nieprecyzyjnie mówiąc za odległość funkcji f i g można przyjąć największą z liczb |f(x) - g(x)|. Dlaczego napisałem 'można przyjąć'? Bo można też inaczej określać odległości funkcji. Zostawmy to na inną okazję.

Powrót na górę strony